La notion d'approximation affine locale constitue un approfondissement du cours.

Reprenons l'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f dérivable en a. Celle si s'écrit y=f'(a)(x-a)+f(a).

Etudions le graphique suivant:

Au point A(a,f(a)), la courbe et la tangente T sont confondues. dès lors que l'on se déplace sur , en s'éloignant légèrment de A, on voit que pour une abscisse donnée, se déplacer sur la courbe n'équivaut pas à se déplacer sur la tangente. Il y a un écart MP. Cependant si l'on ne s'éloigne pas trop de a, on peut convenir que la tangente T est une excellente approximation de la courbe .

Posons x=a+h avec h très proche de 0, afin d'illustrer ce léger décalage.

En remplaçant dans l'équation de la tangente, on obtient pour le membre de droite f'(a)h+f(a).

On parlera alors d'approximation affine locale de f(a+h).

On pourra écrire:

En fait, f(a+h) correspond à l'ordonnée de M (sur la courbe) et f'(a)h+f(a) à l'ordonnée de P (sur la tangente).