Un point se déplace sur une droite munie d'un repère (O;I). Sa position à l'instant est notée , où est une fonction dérivable en , appelée loi horaire de .

On appelle vitesse instantanée du mobile M à l'intant le nombre dérivé de en : .

• , proche de 0.
• , proche de 0.

On mesure les écarts entre la vitesse instantané et les deux vitesses moyennes:

• .

• .

Si l'on représente grahiquement en fonction de , est le coefficient directeur de la droite et est le coefficient directeur de la droite .

Visualiser la situation.

1. On donne la loi horaire: .

a. Calculer , , .

b. Calculer et .

c. On se place à l'instant , calculer et .

d. Démontrer que pour tout , on a .

e. Conclure sur le résultat précédent.

2. On donne la loi horaire: sur l'intervalle

a. Calculer , , .

b. Calculer et et .

c. Déterminer le nombre réel strictement positif tel que pour tout , on a .

d. Conclure sur le résultat précédent.

3. Avec la calculatrice

Comme nous l'avons vu en cours, il est possble d'afficher le nombre dérivé d'une fonction en à la calculatrice. Cette dernière n'affiche pas mais une valeur approchée de pour très "petit". Selon les calculatrices, la paramètre peut ou doit être défini par l'utilisateur.

1. En reprenant la définition et en effectuant un changement de variable judicieux, démonter que: .

2. Vérifier que : et en déduire que .

3. Compléter le tableau suivant à l'aide des résultats donnés par la calculatrice. Repérer les valeurs aberrantes et expliquer la raison de leur présence.

	-10	-1	0	1	10
	.....	.....	....	....	....