Posons définie sur

En appliquant la formule du cours, l'équation de la tangente s'écrit :

Soit et donc

Le parallélisme des deux tangentes étaits prévisible compte tenu de la symétrie de la courbe.

a. Le problème revient à déterminer s'il existe un ou plusieurs réel(s) a non nul(s), tel(s) que f'(a)=-1/4.

En effet, le coefficient directeur de la tangente à au point d'abscisse a est f'(a). Il doit être égal à celui de la droite proposée soit -4 puisque deux droites parallèles on même coefficient directeur.

Nous avons déjà calculé f'(a) dans un exercice précédent: .

Le problème posé revient donc à résoudre l'équation soit et donc .

Il existe deux solutions pour cette équation: -2 et 2 correspondant aux abscisses des points A et B cherchés vérifiant la propriété:

b. Pour répondre à cette question, il faut déterminer l'équation réduite de la tangente à en un point d'abcsisse a non nul.

On trouve: .

Soit .

L'une de ces tangentes passe par l'origine si et seulement si leur ordonnée à l'origine est nulle. Il s'agit ici de résoudre l'équation : .

Cette équation n'admet pas de solution, donc il n'existe aucune tangente à passant par O.

b. En remplaçant par 2 on trouve .

En appliquant la formule de l'équation de la tangente on obtient

Soit:

c.

d. La tangente est horizontale au point d'abscisse a si et seulement si f'(a)=0 soit 4a-1=0 et donc si.... a= 1/4, ce qui est cohérent avec la remarque précédente.

e. Deux droites sont parallèles si et seulement si leur coefficient directeur sont égaux. La condition est donc f'(a)=2 soit 4a-1=2 et donc a= 3/4.

Le point cherché a donc pour coordonnées (3/4;19/8).

f.

• La fonction valeur absolue

Posons définie sur .

Distinguons deux cas:

car et donc

car et donc

La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0 car le nombre dérivé à gauche de 0, égal à -1, n'est pas égal au nombre dérivé à droite égal à 1.

Elle est, en outre, dérivable partout ailleurs.

Pour a>0, f'(a)=1 et pour a<0, f'(a)=-1. Ces nombres correspondent aux coefficients directeurs des tangentes à la courbe, qui sont en fait confondues localement avec celle-ci de part et d'autre de 0.

• La fonction racine carrée

Posons définie sur .

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car la limite du taux d'accroissement de la fonction en 0 n'est pas un réel. Si l'on fait l'analogie de ce résultat dans le registre graphique, nous pouvons extrapoler le fait que nous attendons un coefficient directeur de tangente. Le résultat obtenu étant infini, la demi-tangente en ce point s'avère être verticale, ce que confirme le graphique et le "départ vertical", le long de l'axe des ordonnées de la courbe représentative de la fonction racine carrée.

Partout ailleurs, la fonction racine carrée est dérivable comme nous le montre le résultat suivant:

Pour a>0,

Pour tout a>0, est un réel qui vaut . Ainsi la fonction racine carrée est dérivable sur .

a.

En prenant k=0, la droite verticale est confondue avec l'axe des abscisses et la tangente à la parabole avec l'axe des abscisses donc la droite symétrique est confondue avec l'axe des ordonnées. Le point F a donc une abscisse nulle.

En prenant k=1/2, et en se rappelant que le nombre dérivé en associé à la fonction carré est f'(a)=2a, le coefficient directeur de la tangente est 1 (droite parallèle à la première bissextrice du repère), et donc l'image de est la droite horizontale passant par dont l'ordonnée est 1/4.

Le point F aurait donc pour coordonées (0;1/4 ).

b. Equation de la tangente à la parabole en :

soit

Equation de la parallèle à la tangente passant par :

c. Coordonnées du point I:

On trouve .

d.

Le triangle est donc isocèle en quelque soit la valeur de .

e. Quelque soit la valeur de , il existe un point sur la droite tel que son symétrique par rapport à la perpendiculaire à la tangente en soit . Toutes les droites , passent donc par .

En repérant les racines de ces deux polynômes, on trouve :

Après calcul, on trouve:

En résolvant l'équation (deux droites parallèles ont des coefficients directeurs égaux), on trouve . Ce qui est cohérent avec le graphique.

Remarque: Les calculs de nombres dérivés sont fastidieux et relativement longs. Nous allons pour cela aborder la généralisation de leurs calculs et la construction de fonctions dérivées.